理論力學分為靜力學和動力學，顧名思義，這是打基礎的純理論；材料力學里面很多東西比較微觀，經常會講到到某個截面上某個微小部分的力學分析，基本上就是對某個桿件的某些截面和節點進行分析；結構力學主要涉及體系分析，分析中會忽略一些不必要的條件，比如桿件的軸向變形，而這部分在材料力學里面還專門論述過。

除此之外，還有流體力學和土力學，相對來說，流體力學用的不是很多，土力學經驗公式太多了，在實踐中非常依賴于經驗和資料的積累。今天我們來聊一聊材料力學，有不對的地方，歡迎大家指正啊！

理論力學，研究剛體，研究力與運動的關系；材料力學，研究變形體，研究力與變形的關系。

材料力學 (strength of materials) 主要研究對象是彈性體。對于彈性體，除了平衡問題外，還將涉及到變形以及力和變形之間的關系。此外，由于變形，在材料力學中還將涉及到彈性體的失效以及與失效有關的設計準則。

將材料力學理論和方法應用于工程，即可對桿類構件或零件進行常規的靜力學設計，包括強度、剛度和穩定性設計。

材料力學的基本概念

在工程靜力學中，忽略了物體的變形，將所研究的對象抽象為剛體。實際上，任何固體受力后其內部質點之間均將產生相對運動，使其初始位置發生改變，稱之為位移 (displacement)，從而導致物體發生變形。

工程上，絕大多數物體的變形均被限制在彈性范圍內，即當外加載荷消除后，物體的變形隨之消失，這時的變形稱為彈性變形 (elastic deformation)，相應的物體稱為彈性體 (elastic body)。

材料力學所涉及的內容分屬于兩個學科：

固體力學 (solid mechanics)，即研究物體在外力作用下的應力、變形和能量，統稱為應力分析 (stress analysis)。但是，材料力學又不同于固體力學，材料力學所研究的僅限于桿類物體，例如桿、軸、梁等。

材料科學 (materials science) 中的材料的力學行為 (behaviors of materials)，即研究材料在外力和溫度作用下所表現出的力學性能 (mechanical properties) 和失效 (failures) 行為。但是，材料力學所研究的僅限于材料的宏觀力學行為，不涉及材料的微觀機理。

力學特性是指在外力作用下材料變形與所受外力之間的關系，以及材料抵抗變形和破壞的能力，這些力學特性均需通過材料試驗確定。

以上兩方面的結合，使材料力學成為工程設計 (engineering design) 的重要組成部分，即設計出桿狀構件或零部件的合理形狀和尺寸，以保證它們具有足夠的強度、剛度和穩定性。

材料力學與工程應用

左：傳統具有柱、梁的木質房屋結構；右：趙州橋。

01 構件

工程結構或機械的每一組成部分（如行車結構中的橫梁、吊索等）。

橋式起重機

02 變形

在外力作用下，固體內各點相對位置的改變（宏觀上看就是物體尺寸和形狀的改變）。彈性變形，隨外力解除而消失；塑性變形（殘余變形），外力解除后不能消失。

彈性變形與塑形變形示例

03 剛度

在載荷作用下，構件抵抗變形的能力。

04 內力

構件內由于發生變形而產生的相互作用力（內力隨外力的增大而增大）。

05 強度

在載荷作用下，構件抵抗破壞的能力。

06 穩定性

在載荷作用下，構件保持原有平衡狀態的能力。

強度、剛度、穩定性是衡量構件承載能力的三個方面，材料力學就是研究構件承載能力的一門科學。對構件在荷載作用下正常工作的要求：

具有足夠的強度：荷載作用下不斷裂，荷載去除后不產生過大的永久變形（塑性變形）；

具有足夠的剛度：荷載作用下的彈性變形不超過工程允許范圍；

滿足穩定性要求：對于理想中心壓桿是指，荷載作用下桿件能保持原有形態的平衡。

材料力學的任務就是在滿足強度、剛度和穩定性的要求下，為設計既經濟又安全的構件提供必要的理論基礎和計算方法。

材料力學的研究對象

構件的分類：桿件、板殼、塊體。

材料力學主要研究的構件從幾何上多抽象為桿件，而且大多數抽象為直桿。

桿，縱向尺寸>>橫向尺寸，如柱、軸、梁；直桿，軸線為直線，橫截面與軸線垂直。

直桿，軸線為直線的桿；曲桿，軸線為曲線的桿。等截面桿，橫截面大小形狀不變的桿；變截面桿，橫截面大小或形狀變化的桿。材料力學中的主要研究對象是等截面桿。

 

01 關于材料的基本假定

組成構件的材料，其微觀結構和性能一般都比較復雜。研究構件的應力和變形時，如果考慮這些微觀結構上的差異，不僅在理論分析中會遇到極其復雜的數學和物理問題，而且在將理論應用于工程實際時也會帶來極大的不便。為簡單起見，在材料力學中需要對材料作了一些合理的假定。

(1) 均勻連續性假定

均勻連續性假定 (homogenization and continuity assumption) ，假定材料無空隙、均勻地分布于物體所占的整個空間。從微觀結構看，材料的粒子當然不是處處連續分布的，但從統計學的角度看，只要所考察的物體幾何尺寸足夠大，而且所考察的物體中的每一“點”都是宏觀上的點，則可以認為物體的全部體積內材料是均勻、連續分布的。根據這一假定，物體內的受力、變形等力學量，可以表示為各點坐標的連續函數，從而有利于建立相應的數學模型。

均勻連續問題：微觀不連續，宏觀連續。

連續性假設：從受力構件內任意取出的體積單元內均不含空隙，變形必須滿足幾何相容條件，變形后的固體內既無“空隙”，亦不產生“擠入”現象。

均勻性假設：各點處材料的力學性能相同。對常用工程材料，尚有各向同性假設。

(2) 各向同性假定

各向同性與各向異性：

微觀各向異性，宏觀各向同性；

微觀各向異性，宏觀各向異性。

各向同性假定 (isotropyassumption)，假定彈性體在所有方向上均具有相同的物理和力學性能。根據這一假定，可以用一個參數描寫各點在各個方向上的某種力學性能（沿不同方向力學性能不同的材料稱為各向異性材料，如木材、膠合板、纖維增強材料等）。

大多數工程材料雖然微觀上不是各向同性的，例如金屬材料，其單個晶粒呈結晶各向異性 (anisotropyofcrystallographic)，但當它們形成多晶聚集體的金屬時，呈隨機取向，因而在宏觀上表現為各向同性。

(3) 小變形假定

小變形假定 (assumptionofsmalldeformation)，假定物體在外力作用下所產生的變形與物體本身的幾何尺寸相比是很小的，甚至可以略去不計。根據這一假定，當考察變形固體的平衡問題時，一般可以略去變形的影響，因而可以直接應用工程靜力學方法。

不難發現，在工程靜力學中，實際上已經采用了上述關于小變形的假定。因為實際物體都是可變形物體，所謂剛體便是實際物體在變形很小時的理想化，即忽略了變形對平衡和運動規律的影響。從這個意義上講，在材料力學中，當討論絕大部分平衡問題時，仍將沿用剛體概念，而在其它場合，必須代之以變形體的概念。此外，以后的分析中還會發現，小變形假定在分析變形幾何關系等問題時，將使問題大力簡化。

如圖，δ 遠小于構件的最小尺寸，所以通過節點平衡求各桿內力時，把支架的變形略去不計。計算得到很大的簡化。概括起來講，在材料力學中是把實際材料看作均勻、連續、各項同性的可變形固體，且在大多數場合下局限在彈性變形范圍內和小變形條件下進行研究。

02 彈性桿件的外力與內力

(1) 外力

作用在結構構件上的外力包括外加載荷和約束力，二者組成平衡力系。外力分為體積力和表面力，簡稱體力和面力。體力分布于整個物體內，并作用在物體的每一個質點上。重力、磁力以及由于運動加速度在質點上產生的慣性力都是體力；面力是研究對象周圍物體直接作用在其表面上的力。

外力是來自構件外部的力（載荷、約束反力），按外力作用的方式分類：

體積力：連續分布于物體內部各點的力，如重力和慣性力；

分布力：連續分布于物體表面上的力。如油缸內壁的壓力，水壩受到的水壓力等均為分布力。

集中力：若外力作用面積遠小于物體表面的尺寸，可作為作用于一點的集中力。如火車輪對鋼軌的壓力等。

按外力與時間的關系分類：

靜載：載荷緩慢地由零增加到某一定值后，就保持不變或變動很不顯著，稱為靜載；

動載：載荷隨時間而變化，如交變載荷和沖擊載荷。

左：交變載荷；右沖擊載荷

03 內力與內力分量

考察兩根材料和尺寸都完全相同的直桿，所受的載荷 (FP) 大小亦相同，但方向不同。那么，哪一個容易發生破壞呢？

梁將遠先于拉桿發生破壞，而且二者的變形形式也是完全不同的。可見，在材料力學中不僅要分析外力，而且要分析內力。

材料力學中的內力不同于工程靜力學中物體系統中各個部分之間的相互作用力，也不同于物理學中基本粒子之間的相互作用力，而是指構件受力后發生變形，其內部各點（宏觀上的點）的相對位置發生變化，由此而產生的附加內力，即變形體因變形而產生的內力。這種內力確實存在，例如受拉的彈簧，其內力使彈簧恢復原狀；人用手提起重物時，手臂肌肉內便產生內力等等。

04 截面法

為了揭示承載物體內的內力，通常采用截面法 (section method)。這種方法是用一假想截面，將處于平衡狀態下的承載物體截為A、B兩部分。為了使其中任意一部分保持平衡，必須在所截的截面上作用某個力系，這就是A、B兩部分相互作用的內力。根據牛頓第三定律，作用在A部分截面上的內力與作用在B部分同一截面上的內力在對應的點上，大小相等、方向相反。

(1) 內力主矢與主矩

根據材料的連續性假定，作用在截面上的內力應是一個連續分布的力系。在截面上內力分布規律未知的情形下，不能確定截面上各點的內力。但應用力系簡化的基本方法，這一連續分布的內力系可以向截面形心簡化為一主矢FR 和主矩M，再將其沿三個特定的坐標軸分解，便得到該截面上的6個內力分量。

(2) 內力分量

FN 為軸力，產生軸向的伸長或縮短變形；FQ 為剪力，產生剪切變形；Mx 為扭矩，產生扭轉變形；MB（My 或Mz）為彎矩，產生彎曲變形。

(3) 疊加原理

在一定條件下，桿件所有內力分量作用的效果，可以視為各個內力分量單獨作用效果的疊加。通常可歸結為三組平面內內力分量與外力：

應用平衡方法，考察所截取的任意一部分的平衡，即可求得桿件橫截面上各個內力分量的大小和方向。以梁為例，梁上作用一鉛垂方向的集中力FP，A、B二處的約束力分別為FAy、FB。為求橫截面m-m 上的內力分量，用假想截面將梁從任意截面m-m 處截開，分成左、右兩段，任取其中一段作為研究對象，例如左段。

此時，左段上作用有外力FAy，為保持平衡，截面m-m 上一定作用有與之平衡的內力，將左段上的所有外力向截面m-m 的形心平移，得到垂直于梁軸線的外力Fˊ及作用在梁對稱面內的外力偶矩Mˊ，根據平衡要求，截面m-m 上必然有剪力FQ和彎矩M 存在，二者分別與Fˊ與Mˊ大小相等、方向相反。

若取右段為研究對象，同樣可以確定截面m-m 上的剪力與彎矩，所得的剪力與彎矩數值大小是相同的，但由于與左段截面m-m 上的剪力、彎矩互為作用與反作用，故方向相反。截開面上的內力對留下部分而言已屬于外力。

確定桿件橫截面上的內力分量的基本方法是截面法，一般包含下列步驟：

首先應用工程靜力學方法，確定作用在桿件上的所有未知的外力。

在所要考察的橫截面處，用假想截面將桿件截開，分為兩部分。

考察其中任意一部分的平衡，在截面形心處建立合適的直角坐標系，由平衡方程計算出各個內力分量的大小與方向。

考察另一部分的平衡，以驗證所得結果的正確性。

需要注意的是：

當用假想截面將桿件截開，考察其中任意一部分平衡時，實際上已經將這一部分當作剛體，所以所用的平衡方法與在工程靜力學中的剛體平衡方法完全相同。

注意區別于理論力學中的內力。

05 彈性體受力與變形特征

由于整體平衡的要求，對于截開的每一部分也必須是平衡的。因此，作用在每一部分上的外力必須與截面上分布內力相平衡，組成平衡力系。這是彈性體受力、變形的第一個特征。彈性體受力后發生的變形也不是任意的，必須滿足協調 (compatibility) 一致的要求。這是彈性體受力、變形的第二個特征。

彈性體的內力分量與變形有關，不同的變形形式對應著不同的內力分量。

(1) 桿件橫截面上的應力

一般情形下的橫截面上的附加分布內力，總可以分解為兩種：作用線垂直于截面的和作用線位于橫截面內的。

分布內力在一點的集度，稱為應力 (stresses)。作用線垂直于截面的應力稱為正應力 (normalstress)，作用線位于截面內的應力稱為切應力或剪應力(shrearingstress)。應力的單位記號為Pa或MPa，工程上多用MPa。

應力就是單位面積上的內力？工程構件，大多數情形下內力并非均勻分布，集度的定義不僅準確而且重要，因為“破壞”或“失效”往往從內力集度最大處開始。

正應力、剪應力與內力分量之間的關系：

內力分量是截面上分布內力系的簡化結果。應用積分方法，不難得到正應力與軸力、彎矩之間的關系式，剪應力與扭矩、剪力之間的關系式。

當外力已知時，可由平衡方程求得內力分量—靜定問題。

當內力分量已知時，只能確定應力與相關內力分量之間的關系，卻無法求得各點應力—超靜定問題。

正應力與軸力、彎矩之間的關系

剪應力與扭矩、剪力之間的關系

(2) 正應變與剪應變

如果將彈性體看作由許多微單元體所組成，這些微單元體簡稱微元體或微元 (element)，彈性體整體的變形則是所有微元變形累加的結果，而微元的變形則與作用在其上的應力有關。圍繞受力彈性體中的任意點截取微元（通常為正六面體），一般情形下微元的各個面上均有應力作用。對應于不同的應力作用引起的變形不一樣，因此由其引起的應變也不一樣。

取一微正六面體，兩種基本變形：

角變形（剪切變形）：線段間夾角的變化；

線變形：線段長度的變化。

線變形與剪切變形，這兩種變形程度的度量分別稱“正應變”(NormalStrain) 和“切應變”(ShearingStrain)。關于正應力和正應變的正負號，一般約定：拉應變為正，壓應變為負。產生拉應變的應力（拉應力）為正，產生壓應變的應力（壓應力）為負。

(3) 線彈性材料的應力－應變關系

對于工程中常用材料，若在彈性范圍內加載（應力小于某一個極限值），對于只承受單方向正應力或承受切應力的微元體，正應力與正應變及切應力與切應變之間存在著線性關系。

E 稱為彈性模量或楊氏模量，G 稱為切變模量。

(4) 桿件受力與變形的基本形式

拉伸或壓縮：當桿件兩端承受沿軸線方向的拉力或壓力載荷時，桿件將產生軸向伸長或壓縮變形。

剪切：在平行于桿橫截面的兩個相距很近的平面內，方向相對地作用著兩個橫向力，當這兩個力相互錯動并保持二者之間的距離不變時，桿件將產生剪切變形。

扭轉：當作用在桿件上的力組成作用在垂直于桿軸平面內的力偶Me 時，桿件將產生扭轉變形，即桿件的橫截面繞其軸相互轉動。

平面彎曲：當外加力偶M 或外力F 作用于桿件的縱向平面內時，桿件將發生彎曲變形，其軸線將變成曲線。

組合受力與變形：由基本受力形式中的兩種或兩種以上所共同形成的受力或變形形式，即為組合受力與變形。